線形代数例

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}]$

ステップ 1

固有値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

公式を設定し特性方程式 $p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$

ステップ 1.2

サイズ $3$ の単位行列または恒等行列は $3 \times 3$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 1.3

既知の値を $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}]$ を $A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] - λ I_{3})$

ステップ 1.3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ を $I_{3}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.4

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.4.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.4.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.6

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.6.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.6.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.7

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.7.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.7.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.8

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.8.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.8.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 1.4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 10 + 0 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$10$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 10 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.2

$- 8$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 10 & - 8 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 10 & - 8 \\ 1 & 2 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 10 & - 8 \\ 1 & 2 - λ & 1 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.5

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 10 & - 8 \\ 1 & 2 - λ & 1 \\ - 1 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.6

$2$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 10 & - 8 \\ 1 & 2 - λ & 1 \\ - 1 & 2 & 3 - λ \end{array}]$

ステップ 1.5

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 2 & 3 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(4 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 2 & 3 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (4 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 1.5.2

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 2 & 3 - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (4 - λ) ((2 - λ) (3 - λ) - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(2 - λ) (3 - λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (4 - λ) (2 (3 - λ) - λ (3 - λ) - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (4 - λ) (2 \cdot 3 + 2 (- λ) - λ (3 - λ) - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (4 - λ) (2 \cdot 3 + 2 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.2.1.2.1.1

$2$ に $3$ をかけます。

$p (λ) = (4 - λ) (6 + 2 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.2.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 2 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.2.1.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.2.1.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.2.1.2.1.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.2.1.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.2.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ + λ^{2} - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.2.2

$- 2 λ$ から $3 λ$ を引きます。

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 5 λ + λ^{2} - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 5 λ + λ^{2} - 2) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.2

$6$ から $2$ を引きます。

$p (λ) = (4 - λ) (- 5 λ + λ^{2} + 4) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.3

$- 5 λ$ と $λ^{2}$ を並べ替えます。

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 1.5.3

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (1 (3 - λ) - (- 1 \cdot 1)) - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 1.5.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.1

$3 - λ$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (3 - λ - (- 1 \cdot 1)) - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 1.5.3.2.1.2

$- (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (3 - λ - - 1) - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 1.5.3.2.1.2.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (3 - λ + 1) - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 1.5.3.2.2

$3$ と $1$ をたし算します。

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 1.5.4

$| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (1 \cdot 2 - - (2 - λ))$

ステップ 1.5.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.1

$2$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (2 - - (2 - λ))$

ステップ 1.5.4.2.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (2 - (- 1 \cdot 2 - - λ))$

ステップ 1.5.4.2.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (2 - (- 2 - - λ))$

ステップ 1.5.4.2.1.4

$- - λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (2 - (- 2 + 1 λ))$

ステップ 1.5.4.2.1.4.2

$λ$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (2 - (- 2 + λ))$

ステップ 1.5.4.2.1.5

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (2 - - 2 - λ)$

ステップ 1.5.4.2.1.6

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (2 + 2 - λ)$

ステップ 1.5.4.2.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (4 - λ)$

ステップ 1.5.4.2.3

$4$ と $- λ$ を並べ替えます。

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

ステップ 1.5.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4)$ を展開します。

$p (λ) = 4 λ^{2} + 4 (- 5 λ) + 4 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

ステップ 1.5.5.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1.2.1

$- 5$ に $4$ をかけます。

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 4 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

ステップ 1.5.5.1.2.2

$4$ に $4$ をかけます。

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

ステップ 1.5.5.1.2.3

指数を足して $λ$ に $λ^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1.2.3.1

$λ^{2}$ を移動させます。

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - (λ^{2} λ) - λ (- 5 λ) - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

ステップ 1.5.5.1.2.3.2

$λ^{2}$ に $λ$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1.2.3.2.1

$λ$ を $1$ 乗します。

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 5 λ) - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

ステップ 1.5.5.1.2.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ^{2 + 1} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

ステップ 1.5.5.1.2.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ^{3} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

ステップ 1.5.5.1.2.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 5 λ \cdot λ - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

ステップ 1.5.5.1.2.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1.2.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 5 (λ \cdot λ) - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

ステップ 1.5.5.1.2.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 5 λ^{2} - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

ステップ 1.5.5.1.2.6

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ^{3} + 5 λ^{2} - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

ステップ 1.5.5.1.2.7

$4$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ^{3} + 5 λ^{2} - 4 λ - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

ステップ 1.5.5.1.3

$4 λ^{2}$ と $5 λ^{2}$ をたし算します。

$p (λ) = 9 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ^{3} - 4 λ - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

ステップ 1.5.5.1.4

$- 20 λ$ から $4 λ$ を引きます。

$p (λ) = 9 λ^{2} - 24 λ + 16 - λ^{3} - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

ステップ 1.5.5.1.5

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 9 λ^{2} - 24 λ + 16 - λ^{3} - 10 (- λ) - 10 \cdot 4 - 8 (- λ + 4)$

ステップ 1.5.5.1.6

$- 1$ に $- 10$ をかけます。

$p (λ) = 9 λ^{2} - 24 λ + 16 - λ^{3} + 10 λ - 10 \cdot 4 - 8 (- λ + 4)$

ステップ 1.5.5.1.7

$- 10$ に $4$ をかけます。

$p (λ) = 9 λ^{2} - 24 λ + 16 - λ^{3} + 10 λ - 40 - 8 (- λ + 4)$

ステップ 1.5.5.1.8

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 9 λ^{2} - 24 λ + 16 - λ^{3} + 10 λ - 40 - 8 (- λ) - 8 \cdot 4$

ステップ 1.5.5.1.9

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$p (λ) = 9 λ^{2} - 24 λ + 16 - λ^{3} + 10 λ - 40 + 8 λ - 8 \cdot 4$

ステップ 1.5.5.1.10

$- 8$ に $4$ をかけます。

$p (λ) = 9 λ^{2} - 24 λ + 16 - λ^{3} + 10 λ - 40 + 8 λ - 32$

ステップ 1.5.5.2

$- 24 λ$ と $10 λ$ をたし算します。

$p (λ) = 9 λ^{2} - 14 λ + 16 - λ^{3} - 40 + 8 λ - 32$

ステップ 1.5.5.3

$- 14 λ$ と $8 λ$ をたし算します。

$p (λ) = 9 λ^{2} - 6 λ + 16 - λ^{3} - 40 - 32$

ステップ 1.5.5.4

$16$ から $40$ を引きます。

$p (λ) = 9 λ^{2} - 6 λ - λ^{3} - 24 - 32$

ステップ 1.5.5.5

$- 24$ から $32$ を引きます。

$p (λ) = 9 λ^{2} - 6 λ - λ^{3} - 56$

ステップ 1.5.5.6

$- 6 λ$ を移動させます。

$p (λ) = 9 λ^{2} - λ^{3} - 6 λ - 56$

ステップ 1.5.5.7

$9 λ^{2}$ と $- λ^{3}$ を並べ替えます。

$p (λ) = - λ^{3} + 9 λ^{2} - 6 λ - 56$

ステップ 1.6

特性多項式を $0$ と等しくし、固有値 $λ$ を求めます。

$- λ^{3} + 9 λ^{2} - 6 λ - 56 = 0$

ステップ 1.7

$λ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.1

有理根検定を用いて $- λ^{3} + 9 λ^{2} - 6 λ - 56$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 56, \pm 2, \pm 28, \pm 4, \pm 14, \pm 7, \pm 8$

$q = \pm 1$

ステップ 1.7.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 56, \pm 2, \pm 28, \pm 4, \pm 14, \pm 7, \pm 8$

ステップ 1.7.1.1.3

$- 2$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 2$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.1.3.1

$- 2$ を多項式に代入します。

$- {(- 2)}^{3} + 9 {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2 - 56$

ステップ 1.7.1.1.3.2

$- 2$ を $3$ 乗します。

$- - 8 + 9 {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2 - 56$

ステップ 1.7.1.1.3.3

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$8 + 9 {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2 - 56$

ステップ 1.7.1.1.3.4

$- 2$ を $2$ 乗します。

$8 + 9 \cdot 4 - 6 \cdot - 2 - 56$

ステップ 1.7.1.1.3.5

$9$ に $4$ をかけます。

$8 + 36 - 6 \cdot - 2 - 56$

ステップ 1.7.1.1.3.6

$8$ と $36$ をたし算します。

$44 - 6 \cdot - 2 - 56$

ステップ 1.7.1.1.3.7

$- 6$ に $- 2$ をかけます。

$44 + 12 - 56$

ステップ 1.7.1.1.3.8

$44$ と $12$ をたし算します。

$56 - 56$

ステップ 1.7.1.1.3.9

$56$ から $56$ を引きます。

$0$

ステップ 1.7.1.1.4

$- 2$ は既知の根なので、多項式を $λ + 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{- λ^{3} + 9 λ^{2} - 6 λ - 56}{λ + 2}$

ステップ 1.7.1.1.5

$- λ^{3} + 9 λ^{2} - 6 λ - 56$ を $λ + 2$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$λ$

$2$

$λ^{3}$

$9 λ^{2}$

$6 λ$

$56$

ステップ 1.7.1.1.5.2

被除数 $- λ^{3}$ の最高次項を除数 $λ$ の最高次項で割ります。

				-	$λ^{2}$
	$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$

ステップ 1.7.1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			-	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$

ステップ 1.7.1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $- λ^{3} - 2 λ^{2}$ の符号をすべて変更します。

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$

ステップ 1.7.1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$

ステップ 1.7.1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$

ステップ 1.7.1.1.5.7

被除数 $11 λ^{2}$ の最高次項を除数 $λ$ の最高次項で割ります。

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$

ステップ 1.7.1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$
					+	$11 λ^{2}$	+	$22 λ$

ステップ 1.7.1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $11 λ^{2} + 22 λ$ の符号をすべて変更します。

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$22 λ$

ステップ 1.7.1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$22 λ$
							-	$28 λ$

ステップ 1.7.1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$22 λ$
							-	$28 λ$	-	$56$

ステップ 1.7.1.1.5.12

被除数 $- 28 λ$ の最高次項を除数 $λ$ の最高次項で割ります。

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$22 λ$
							-	$28 λ$	-	$56$

ステップ 1.7.1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$22 λ$
							-	$28 λ$	-	$56$
							-	$28 λ$	-	$56$

ステップ 1.7.1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 28 λ - 56$ の符号をすべて変更します。

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$22 λ$
							-	$28 λ$	-	$56$
							+	$28 λ$	+	$56$

ステップ 1.7.1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$22 λ$
							-	$28 λ$	-	$56$
							+	$28 λ$	+	$56$
										$0$

ステップ 1.7.1.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$- λ^{2} + 11 λ - 28$

ステップ 1.7.1.1.6

$- λ^{3} + 9 λ^{2} - 6 λ - 56$ を因数の集合として書き換えます。

$(λ + 2) (- λ^{2} + 11 λ - 28) = 0$

ステップ 1.7.1.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.2.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot - 28 = 28$ で和が $b = 11$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.2.1.1.1

$11$ を $11 λ$ で因数分解します。

$(λ + 2) (- λ^{2} + 11 (λ) - 28) = 0$

ステップ 1.7.1.2.1.1.2

$11$ を $4$ プラス $7$ に書き換える

$(λ + 2) (- λ^{2} + (4 + 7) λ - 28) = 0$

ステップ 1.7.1.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$(λ + 2) (- λ^{2} + 4 λ + 7 λ - 28) = 0$

ステップ 1.7.1.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(λ + 2) ((- λ^{2} + 4 λ) + 7 λ - 28) = 0$

ステップ 1.7.1.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(λ + 2) (λ (- λ + 4) - 7 (- λ + 4)) = 0$

ステップ 1.7.1.2.1.3

最大公約数 $- λ + 4$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(λ + 2) ((- λ + 4) (λ - 7)) = 0$

ステップ 1.7.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$(λ + 2) (- λ + 4) (λ - 7) = 0$

ステップ 1.7.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$λ + 2 = 0$

$- λ + 4 = 0$

$λ - 7 = 0$

ステップ 1.7.3

$λ + 2$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.1

$λ + 2$ が $0$ に等しいとします。

$λ + 2 = 0$

ステップ 1.7.3.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$λ = - 2$

ステップ 1.7.4

$- λ + 4$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.1

$- λ + 4$ が $0$ に等しいとします。

$- λ + 4 = 0$

ステップ 1.7.4.2

$λ$ について $- λ + 4 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$- λ = - 4$

ステップ 1.7.4.2.2

$- λ = - 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.2.2.1

$- λ = - 4$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 1.7.4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{λ}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 1.7.4.2.2.2.2

$λ$ を $1$ で割ります。

$λ = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 1.7.4.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.2.2.3.1

$- 4$ を $- 1$ で割ります。

$λ = 4$

ステップ 1.7.5

$λ - 7$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.5.1

$λ - 7$ が $0$ に等しいとします。

$λ - 7 = 0$

ステップ 1.7.5.2

方程式の両辺に $7$ を足します。

$λ = 7$

ステップ 1.7.6

最終解は $(λ + 2) (- λ + 4) (λ - 7) = 0$ を真にするすべての値です。

$λ = - 2, 4, 7$

ステップ 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

ステップ 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 2$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$2$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.2

$2$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.3

$2$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.4

$2$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.5

$2$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.6

$2$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.7

$2$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.8

$2$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.9

$2$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]$

ステップ 3.2.2

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 4 + 2 & 10 + 0 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 2 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 + 2 \end{array}]$

ステップ 3.2.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

$4$ と $2$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 6 & 10 + 0 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 2 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 + 2 \end{array}]$

ステップ 3.2.3.2

$10$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 2 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 + 2 \end{array}]$

ステップ 3.2.3.3

$- 8$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 \\ 1 + 0 & 2 + 2 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 + 2 \end{array}]$

ステップ 3.2.3.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 + 2 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 + 2 \end{array}]$

ステップ 3.2.3.5

$2$ と $2$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 \\ 1 & 4 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 + 2 \end{array}]$

ステップ 3.2.3.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 \\ 1 & 4 & 1 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 + 2 \end{array}]$

ステップ 3.2.3.7

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 \\ 1 & 4 & 1 \\ - 1 & 2 + 0 & 3 + 2 \end{array}]$

ステップ 3.2.3.8

$2$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 \\ 1 & 4 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 + 2 \end{array}]$

ステップ 3.2.3.9

$3$ と $2$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 \\ 1 & 4 & 1 \\ - 1 & 2 & 5 \end{array}]$

ステップ 3.3

Find the null space when $λ = - 2$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 & 0 \\ 1 & 4 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6}{6} & \frac{10}{6} & \frac{- 8}{6} & \frac{0}{6} \\ 1 & 4 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ 1 & 4 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ 1 - 1 & 4 - \frac{5}{3} & 1 + \frac{4}{3} & 0 - 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & \frac{7}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & \frac{7}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 + \frac{5}{3} & 5 - \frac{4}{3} & 0 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.3.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & \frac{7}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & \frac{11}{3} & \frac{11}{3} & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{3}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{3}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ \frac{3}{7} \cdot 0 & \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3} & \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3} & \frac{3}{7} \cdot 0 \\ 0 & \frac{11}{3} & \frac{11}{3} & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.4.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{11}{3} & \frac{11}{3} & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{11}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{11}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 - \frac{11}{3} \cdot 0 & \frac{11}{3} - \frac{11}{3} \cdot 1 & \frac{11}{3} - \frac{11}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{11}{3} \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.5.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{5}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{5}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5}{3} \cdot 0 & \frac{5}{3} - \frac{5}{3} \cdot 1 & - \frac{4}{3} - \frac{5}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{5}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.6.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 3 z = 0$

$y + z = 0$

$0 = 0$

ステップ 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 z \\ - z \\ z \end{array}]$

ステップ 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]$

ステップ 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

ステップ 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 4$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$- 4$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.2

$- 4$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.3

$- 4$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.4

$- 4$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.5

$- 4$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.6

$- 4$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.7

$- 4$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.8

$- 4$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.9

$- 4$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

ステップ 4.2.2

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 4 - 4 & 10 + 0 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 4 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

ステップ 4.2.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$4$ から $4$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 0 & 10 + 0 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 4 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.2

$10$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 4 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.3

$- 8$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 \\ 1 + 0 & 2 - 4 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 - 4 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.5

$2$ から $4$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 \\ 1 & - 2 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 \\ 1 & - 2 & 1 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.7

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 \\ 1 & - 2 & 1 \\ - 1 & 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.8

$2$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 \\ 1 & - 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 - 4 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.9

$3$ から $4$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 \\ 1 & - 2 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \end{array}]$

ステップ 4.3

Find the null space when $λ = 4$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 & 0 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 10 & - 8 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 10 & - 8 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 - 2 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.2.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 10 & - 8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{10}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{10}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ \frac{0}{10} & \frac{10}{10} & \frac{- 8}{10} & \frac{0}{10} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.3.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 (- \frac{4}{5}) & 0 + 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & - \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.4.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{3}{5} z = 0$

$y - \frac{4}{5} z = 0$

$0 = 0$

ステップ 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{3 z}{5} \\ \frac{4 z}{5} \\ z \end{array}]$

ステップ 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \\ 1 \end{array}]$

ステップ 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

ステップ 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 7$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] - 7 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 7$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.2.1

$- 7$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2.2

$- 7$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2.3

$- 7$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2.4

$- 7$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2.5

$- 7$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2.6

$- 7$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2.7

$- 7$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2.8

$- 7$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2.9

$- 7$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \end{array}]$

ステップ 5.2.2

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 4 - 7 & 10 + 0 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 7 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 7 \end{array}]$

ステップ 5.2.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$4$ から $7$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 + 0 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 7 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 7 \end{array}]$

ステップ 5.2.3.2

$10$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 7 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 7 \end{array}]$

ステップ 5.2.3.3

$- 8$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 \\ 1 + 0 & 2 - 7 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 7 \end{array}]$

ステップ 5.2.3.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 - 7 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 7 \end{array}]$

ステップ 5.2.3.5

$2$ から $7$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 \\ 1 & - 5 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 7 \end{array}]$

ステップ 5.2.3.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 \\ 1 & - 5 & 1 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 7 \end{array}]$

ステップ 5.2.3.7

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 \\ 1 & - 5 & 1 \\ - 1 & 2 + 0 & 3 - 7 \end{array}]$

ステップ 5.2.3.8

$2$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 \\ 1 & - 5 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 - 7 \end{array}]$

ステップ 5.2.3.9

$3$ から $7$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 \\ 1 & - 5 & 1 \\ - 1 & 2 & - 4 \end{array}]$

ステップ 5.3

Find the null space when $λ = 7$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 & 0 \\ 1 & - 5 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 10 & - \frac{1}{3} \cdot - 8 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 1 & - 5 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ 1 & - 5 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ 1 - 1 & - 5 + \frac{10}{3} & 1 - \frac{8}{3} & 0 - 0 \\ - 1 & 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{5}{3} & - \frac{5}{3} & 0 \\ - 1 & 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{5}{3} & - \frac{5}{3} & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 - \frac{10}{3} & - 4 + \frac{8}{3} & 0 + 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.3.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{5}{3} & - \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{4}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{3}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{3}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} (- \frac{5}{3}) & - \frac{3}{5} (- \frac{5}{3}) & - \frac{3}{5} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{4}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.4.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & - \frac{4}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{4}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{4}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 + \frac{4}{3} \cdot 0 & - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} \cdot 1 & - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{4}{3} \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.5.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{10}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{10}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{10}{3} \cdot 0 & - \frac{10}{3} + \frac{10}{3} \cdot 1 & \frac{8}{3} + \frac{10}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{10}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.6.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + 6 z = 0$

$y + z = 0$

$0 = 0$

ステップ 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 6 z \\ - z \\ z \end{array}]$

ステップ 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 6 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]$

ステップ 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 6 \\ - 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

ステップ 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 6 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 6 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]}$

線形代数 例

線形代数例